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Année académique 2017-2018
23/10/2017
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Dernière modification : le 14/12/2016 par LORIS, Ignace

Langue/Language


Optimisation, algorithmes et applications
MATH - F431

I. Informations générales
Intitulé de l'unité d'enseignement * Optimisation, algorithmes et applications
Langue d'enseignement * Enseigné en français
Niveau du cadre de certification * Niveau 7 (2e cycle-MA/MC/MA60)
Discipline * Mathématiques
Titulaire(s) * [y inclus le coordonnateur] Ignace LORIS (coordonnateur)
II. Place de l'enseignement
Unité(s) d'enseignement co-requise(s) *
Unité(s) d'enseignement pré-requise(s) *
Connaissances et compétences pré-requises * Les prérequis sont les notions élémentaires de l'analyse réelle (suites, séries, limites, ...) et de l'algèbre linéaire (espaces vectoriels, opérateurs, ...)
Programme(s) d'études comprenant l'unité d'enseignement - CEPULB - Conseil de l'Éducation Permanente de l'Université Libre de Bruxelles (5 crédits, obligatoire)
- M-MATHA - Master en sciences mathématiques, à finalité approfondie (5 crédits, optionnel)
III. Objectifs et méthodologies
Contribution de l'unité d'enseignement au profil d'enseignement *

Ce cours contribue aux points suivants du profil d'enseignement :

1.1. S'approprier les concepts fondamentaux de certaines branches récentes des mathématiques.
1.2. Acquérir des notions avancées de domaines des mathématiques.
1.3. Analyser, synthétiser, relier les connaissances de différentes branches des mathématiques.

2.1. Mettre en pratique des critères de rigueur, une argumentation, des techniques de démonstration.
2.2. Dégager un concept à partir d'observations ou d’exemples.
2.3. Elaborer un processus d’abstraction ou une étude soit de données soit d’exemples en vue du développement d’une théorie ou d’un modèle.

3.1. Explorer les conséquences d’un résultat mathématique.
3.2. Mettre en relation des théories existantes.
3.3. Identifier des questions qui se posent au sein d’une théorie.

4.1. Utiliser un langage clair et rigoureux.

 

Ce cours contribue aux points suivants du référentiel de compétences:

Compétence 1 : Avoir acquis des connaissances hautement spécialisées et intégrées et des compétences larges dans les sciences mathématiques, faisant suite à celles relevant du niveau de bachelier en sciences mathématiques.

Compétence 3 : Mobiliser, articuler et valoriser les connaissances et les compétences acquises en vue de contribuer, seuls ou en équipe, à la conduite et à la réalisation d’un projet de développement d’envergure en lien avec les sciences mathématiques.

Compétence 5 : Être capable de communiquer de façon claire, structurée et argumentée, tant à l’oral qu’à l’écrit, dans le cadre des sciences mathématiques et des domaines connexes, à des publics avertis ou non, leurs conclusions, leurs propositions originales ainsi que les connaissances et principes sous-jacents, le cas échéant en anglais.

Compétence 6 : Avoir développé et intégré un fort degré d’autonomie qui leur permet d’acquérir de nouveaux savoirs, de poursuivre leur formation et de développer de nouvelles compétences pour pouvoir évoluer dans de nouveaux contextes.

Objectifs de l'unité d'enseignement (et/ou acquis d'apprentissages spécifiques) *

A l’issue de cette unité d’enseignement, un étudiant sera capable
1) d'utiliser la décomposition en valeurs singulières pour résoudre certains problèmes d'optimisation,
2) d'écrire et d'implémenter des algorithmes itératifs d'optimisation, et d'en connaître les principales propriétés de convergence,
3) de choisir l'algorithme adéquat en fonction du taux de convergence,
4) de calculer la transformée de Fenchel de certaines fonctions,
5) d'utiliser la dualité Fenchel pour reformuler des problèmes d'optimisation,
6) d'appliquer ces algorithmes à des problèmes en statistique et en imagerie mathématique.

 

 

Contenu de l'unité d'enseignement *

La décomposition en valeurs singulières, meilleure approximation de rang $k$, la meilleure variété affine de dimension $k$, l'analyse en composantes principales, le partitionnement en $k$-moyennes

Introduction à l'analyse convexe, ensembles et fonctions convexes, la projection sur un convexe, le calcul sous-différentiel

L'opérateur proximal et l'algorithme du point proximal, propriétés

L'algorithme du gradient proximal, le principe de minimisation par majorisation, taux de convergence, le seuillage itératif

Méthodes d'accélération, méthode de Nesterov, règle d'Armijo

La transformée de Fenchel, propriétés, la dualité Fenchel

Algorithmes proximaux généralisés, applications

Méthodes d'enseignement et activités d'apprentissages *

cours magistral (2h/semaine), exercices dirigés (1h/semaine) encadrés par le titulaire, travaux personnels.

Support(s) de cours indispensable(s) * Non
Autres supports de cours

Notes de cours imprimées

Références, bibliographie et lectures recommandées *

Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, H. H. Bauschke & P. L. Combettes (Springer, 2011)

Iterative Optimization in Inverse Problems, C. L. Byrne (Chapman and Hall/CRC, 2014)

Convex Optimization, S. Boyd & L. Vandenberghe (Cambridge University Press, 2004)

Convex analysis and minimization algorithms, J. B. Hiriart-Urruty & C. Lemarechal, (Springer, 1993)

Nonlinear programming, D. P. Bertsekas (Athena Scientific, 1999)

Convex Optimization Theory , D. P. Bertsekas (Athena Scientific, 2009)

IV. Evaluation
Méthode(s) d'évaluation *

Un examen oral : typiquement 20-30 minutes par étudiant.

Construction de la note (en ce compris, la pondération des notes partielles) *

Typiquement deux questions (deux chapitres). 10 points par question.

Langue d'évaluation *

français

V. Organisation pratique
Institution organisatrice * ULB
Faculté gestionnaire * Sciences
Quadrimestre * Premier quadrimestre (NRE : 39267)
Horaire * Premier quadrimestre
Volume horaire

cours magistral (2h/semaine), exercices dirigés (1h/semaine)

VI. Coordination pédagogique
Contact *

mail (igloris@ulb.ac.be) ou en personne au bureau du titulaire (campus Plaine, bâtiment NO, local 2.O7.107)

Lieu d’enseignement *

Campus Plaine

VII. Autres informations relatives à l’unité d’enseignement
Remarques

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